Lantmäteriet - Kartprojektioner

Illustrationer från
I. Ussisoo, Kartprojektioner

För kartframställning och en del andra tekniska tillämpningar är det mest praktiskt att ange punkters lägen i ett plant koordinatsystem. Med kartprojektion avbildas referensellipsoiden eller del därav på en plan yta. Valet av projektion styrs av begränsning av projektionsfelen och att projektionskorrektionerna är lätta att beräkna.

De flesta svenska kartor är gjorda i Gauss-Krügers projektion. Den projektionen är vinkelriktig och avbildar den valda medelmeridianen längdriktig. De svenska kartornas rätvinkliga system eller rutnät brukar även kallas 'Rikets nät', se introduktion till kartornas rutnät.

1		Kartprojektionens grunder....................................
	1.1	Jordmodellen..............................................................
	1.2	Konstruktion................................................................
	1.3	Perspektivisk avbildning...........................................
	1.4	Avbildningsfunktion...................................................
	1.5	Viktiga egenskaper...................................................
	1.6	Tissots indikatris.......................................................
	1.7	Projektionsparametrar..............................................
2		Översikt över kartprojektioner............................
3		Rikets kartprojektion.............................................
	3.1	Bladindelning.............................................................
4		Generalstabskartan................................................
5		UTM, Universal Transverse Mercator......................
6		Världskartor..............................................................

Referenser:
HMK - Geodesi, GPS. Lantmäteriet 1996.
Ussisoo I: Kartprojektioner. Lantmäteriverket, Tekniska skrifter 1977/6, Gävle 1977.
Snyder J P: Map Projections - A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, USA 1987.

1 Kartprojektionens grunder

1.1 JORDMODELLEN

Avbildningen av jordellipsoiden (eller sfären) på ett plan, kan ej ske utan deformation. Med en lämpligt vald projektion kan man däremot hålla formförändringarna inom vissa gränser, inom det geografiska tillämpningsområde man valt.

För mycket småskaliga kartor, t.ex. världskartor använder man en sfärisk jordmodell, på grund av att det ger enklare beräkningar. Det blir i dessa fall en avbildning som inte blir lika noggrann som en där man använt ellipsoidisk jordmodell. Eftersom felen är ganska små och noggrannheten ändå inte är särskilt hög i världskartor kan felen försummas.

För storskalig kartläggning, t.ex. topografiska kartor, används alltid ellipsoidisk jordmodell, vilket leder till något krångligare formler, där serieutvecklingar måste användas.

1.2 KONSTRUKTION

Metoden för att konstruera kartprojektionen kan hänföras till tre huvudtyper vad gäller

formen på projektionsytan: cylindrisk, konisk eller azimutal
orienteringen av projektionsytan: normal, transversal eller snedaxlig.

Cylindrisk projektion
Denna kan ses som att en cylinder tangerar ekvatorn (normal typ)	eller längs en medelmeridian (transversal typ)

Även snedaxlig typ med annan orientering av cylindern förekommer.

Konisk projektion

En kon tangerar jordklotet, oftast längs en parallellcirkel (normal typ)

Azimutal projektion

Ett plan som tangerar jordklotet i en punkt. Normal typ, när tangeringspunkten är en av polerna, kallas oftast polär aspekt. Transversal typ om tangeringspunkten ligger på ekvatorn, kallas oftast ekvatoriell aspekt. Även snedaxlig typ används.

1.3 PERSPEKTIVISK AVBILDNING

En perspektivisk projektion kan konstrueras rent geometriskt. Räta linjer, projektionsstrålar, utgår från en punkt, projektionscentrum , genom de punkter på klotytan som avbildas, och förlängs tills de skär projektionsytan i punkternas avbild.

Som exempel har vi den Gnomoniska projektionen, en azimutal projektion där projektionscentrum är jordklotets medelpunkt, Stereografisk projektion, där projektions-centrum är tangeringspunktens antipod, och Ortografisk projektion, där projektionscentrum är placerat på oändligt avstånd, d.v.s. projektionsstrålarna är parallella. Projektionerna återges i nordpolsaspekt nedan.

Gnomonisk projektion Stereografisk projektion Ortografisk projektion

1.4 AVBILDNINGSFUNKTION

De flesta projektioner som vi använder är ej perspektiviska, avbildningen sker på ett mer komplicerat sätt, den kan beskrivas allmänt som en matematisk funktion:

(phi) = geodetisk latitud,

(lambda) = geodetisk longitud

och x , y är plana koordinater i projektionsplanet.

I Sverige och en del andra länder är konventionen att x-axeln i detta sammanhang är riktad mot norr och y-axeln mot öster. Alltså omvänt mot skolboksgeometrin där y-axeln är riktad uppåt och x-axeln åt höger. I många andra länder är dock konventionen den omvända, t.ex. i anglosaxiska länder där x brukar kallas för 'Northing' och y för 'Easting'.

1.5 VIKTIGA EGENSKAPER

Formlerna för projektionen härleds allmänt ur vissa villkor som sätts på avbildningsfunktionen. De viktigaste egenskaperna är:

Konform (vinkelriktig eller formbevarande), innebär att en infinitesimalt (oändligt) liten figur avbildas utan formförändring, och att förstoringen i en punkt är lika stor i alla riktningar. Vinkelriktighet kan ej kombineras med ytriktighet.

Ytriktig, ytan hos en figur på klotytan avbildas i kartplanet på en figur med lika stor yta. Ytriktighet kan ej kombineras med vinkelriktighet.

Längdriktig, denna egenskap kan ej gälla allmänt, utan endast längs vissa linjer, t.ex. längs medelmeridianen eller en parallellcirkel.

I geodetiska sammanhang används normalt konforma (vinkelriktiga) projektioner, alltid från en ellipsoidisk jordmodell. En egenskap som är av särskilt intresse hos konforma projektioner är meridiankonvergensen

1.6 TISSOTS INDIKATRIS

Den så kallade indikatrisen, eller Tissots indikatris, karaktäriserar egenskaperna för en projektion. Det är den ellips som uppkommer vid projektionens avbildning av en elementarcirkel på klotytan.
(Elementarcirkel = infinitesimal el. försvinnande liten cirkel).

Vid normala projektioner blir indikatrisens axlar förlagda längs meridianen och parallellen genom den avbildade punkten. Om elementarcirkelns radie väljs till = 1, så blir förstoringarna h och k utefter meridian och parallell, i det normala fallet lika med halvaxlarnas längder i indikatrisen.

Ur indikatrisens egenskaper kan olika typer av projektioner identifieras:

om h = k är projektionen konform (vinkelriktig).
om h x k = 1 är projektionen ytriktig.
om h = 1 ( k = 1 ) är projektionen längdriktig utefter meridianen ( parallellen ).

Indikatrisen ger också information om projektionens vinkelförvridning i punkten.
Maximala beloppet w fås ur formeln:

SIN (w) = | (k - h) / (k + h) |

1.7 PROJEKTIONSPARAMETRAR

Vid specifikation av en projektion, anges förutom den allmänna typen, t.ex. 'Gauss-Krüger', ett antal parametrar.

Jordellipsoidens parametrar måste alltid anges, men impliceras ofta indirekt av det geodetiska datum eller referenssystem som används.

De övriga parametrar som brukar förekomma är:

Medelmeridian ( eng. 'Central Meridian' ), mittmeridian som normalt avbildas som en vertikal rät linje, och utgör symmetriaxel, och det plana systemets naturliga x-axel.
Longituden (grad min sek) för medelmeridianen anges, vanligen relativt internationella nollmeridianen i Greenwich.
Standardparalleller ( eng. 'Standard Parallel' ), anges för normala projektioner, och är parallellcirklar som avbildas skalenligt.
En projektion kan ha en eller två standardparalleller. Latituden för dessa anges.
Skalreduktionsfaktor ( eng. 'Scale Factor' eller 'Scale on Central Meridian' ), ett tal, mindre än el. lika med 1, som appliceras på koordinaterna för att omfördela skalfelet i projektionen.
Till exempel i UTM används skalreduktionsfaktorn 0.9996.
Tangeringspunktens latitud, centrumpunkt för azimutala projektioner. Latituden anges.

Ett antal parametrar används för att mer eller mindre godtyckligt omdefiniera projektionssystemets origo:

x₀ ( eng. 'False Northing' ), x-tillägg ( även negativa värden, för avdrag ).
y₀ ( eng. 'False Easting' ), y-tillägg ( även negativa värden, för avdrag ).
De följande används normalt ej i Sverige
Latitud för origo ( eng. 'Latitude of Origin' ). Här anges att det plana systemets origo ska förläggas på en viss latitud.
Longitud för origo ( eng. 'Longitude of Origin' ). Här anges att det plana systemets origo ska förläggas på en viss longitud. Är normalt = medelmeridianens longitud

2 Översikt över några vanliga kartprojektioner

K = konform L = delvis längdriktig Y = ytriktig , P = perspektivisk
Klicka på kartbild för beskrivning.

	Gauss-Krüger (Transversal Mercator) den vanligaste projektionen i Sverige.	K
	Lamberts koniska konforma tidigare allmänt använd även i Sverige.	K
	Normal Mercator vanlig på sjökort och världskartor.	K
	Stereografisk vanlig vid avbildning av polarområden m.m.	K P
	Aitoffs världskartor.
	Albers ytriktiga koniska översikter i atlaser etc.	Y
	Azimutal mittavståndsriktig översikter i atlaser etc.	L
	Bonnes översikter i atlaser etc.	Y
	Cassinis tidigare använd i bl.a England för topografiska kartor.	L
	Central perspektivisk cylinderprojektion projektion som egentligen inte används.	P
	Eckerts 6 projektioner för världskartor, hälften ytriktiga.	( Y )
	Galls (stereografiska) världskartor.	P
	Globular för avbildning av halvklot.
	Gnomonisk en gammal projektion med ovanlig egenskap.	P
	Hammers planisfär världskartor.	Y
	Hammer-Wagners världskartor.	Y
	Lamberts ytriktiga azimutala översikter i atlaser etc.	Y
	Lamberts ytriktiga cylindriska	Y P
	Lamberts ytriktiga koniska	Y
	Millers cylindriska världskartor.
	Mollweides världskartor.	Y
	Ortografisk används mest i illustrationssyfte.	P
	Peters världskarta, var avsedd att väcka debatt.	Y
	Plattkarta, kvadratisk den i särklass enklaste projektionen!	L
	Plattkarta, rektangulär enkel projektion som använts för världskartor.	L
	Polykonisk
	Robinsons världskartor, tematiska kartor, konstrueras från tabellvärden.
	Sinusoidal (Sanson-Flamsteeds)	Y
	Van der Grintens världskartor.
	Werners	Y
	William-Olssons en svensk projektion för världskartor.	Y
	Winkel Tripel världskartor.