Passeggiata Aleatoria Semplice ****************************** La passeggiata aleatoria semplice è un processo stocastico (una successione infinita di variabili aleatorie) definito in tempo discreto e con spazio degli stati discreto. Le passeggiate aleatorie semplici sono sempre catene di Markov. Ricordiamo la proprietà di Markov: indichiamo con {X } { =i } Pr { n } { k} { k } la probabilità di occupare lo stato i_k al tempo n_k . La probabilità {X } { =i } Pr { n } { k} { k } dipende solo dallo stato occupato dal sistema nell'ultimo tempo noto (cioè non importa come sia arrivato in quello stato, l'importante è che ci sia arrivato). è possibile definire una passeggiata aleatoria con una regola di evoluzione: X =X +Z n n-1 n dove Pr(Z_n=1)=p , Pr(Z_n=0)=(1-p-q) e Pr(Z_n=-1)=q . Le variabili Z_n sono iid. Notiamo che: µ =p-q e sigma ^2=p+q-(p-q)^2 . Sviluppando la regola di evoluzione otteniamo: n -- X =X +X +Z \ Z +X =··· =/ n n-2 n-1 n -- r 0 r=1 Senza perdere in generalità posso porre X_0=0 (cioè effettuo una traslazione sull'asse degli stati) e dire così che X_n=sum_r=0^nZ_r (cioè è pari alla somma di n variabili iid). Per analizzare la passeggiata aleatoria ricorriamo alla funzione generatrice dei momenti (f.g.m.). Definiamo f^*(vartheta ) la f.g.m. di ogni singola variabile Z_n : * -vartheta vartheta f (vartheta )=e q+(1-p-q)+e p Definiamo la f.g.m. della generica variabile X_n del processo: * * [ ]n fX (vartheta )=f (vartheta )=[ *(vartheta )] n [f ] n Fissato vartheta , f_n^*(vartheta ) è una successione a valori non negativi. Posso usare un funzionale generatore per compattare le informazioni: oo -- * \ n * g (s,vartheta )=/ s f (vartheta ) -- n n=0 Il funzionale è tale che, se esiste f^*(vartheta ) ed è finito si può scrivere: oo oo -- -- * \ n[ ]n \ [ ]n g (s,vartheta )=/ s [ *(vartheta )] =/ [ *(vartheta )] -- [f ] -- [sf ] n=0 n=0 Si può prendere s tale che sf^*(vartheta )<1 così l'ultimo membro è una serie geometrica di somma 1/1-sf^*(vartheta ) . Proviamo a calcolare la derivata prima parziale prima (rispetto a vartheta ) del funzionale e vediamo cosa si ottiene: oo oo -- -- [ partial ] \ n partial [ * ] \ nm [----------------- *(s,vartheta )] =/ s -----------------[f (vartheta )] =/ s [partial vartheta g ]vartheta =0 -- partial vartheta [ n ]vartheta =0 -- 1,n n=0 n=0 dove m_1,n è il momento primo della variabile X_n . Quindi derivando il funzionale rispetto a vartheta si ottiene una serie di potenze i cui coefficienti sono i momenti primi del processo ai vari tempi. Verifichiamo: oo -- [ partial ] \ n[ partial ( )n] [----------------- *(s,vartheta )] = / s [-----------------( *(vartheta )) ] [partial vartheta g ]vartheta =0 -- [partial vartheta (f ) ]vartheta =0 n=0 oo -- \ n[ ( )n-1 partial ] = / s [n( *(vartheta )) ----------------- *(vartheta )] -- [ (f ) partial vartheta f ]vartheta =0 n=0 oo -- \ n = / s n(p-q) -- n=0 cioè abbiamo m_1,n=n(p-q) perché [ ] [ *(vartheta )] =1, [f ]vartheta =0 e [ partial ] [----------------- *(vartheta )] =m_1,1=(p-q) [partial vartheta f ]vartheta =0 Il momento primo della variabile X_n è n(p-q) perché le Z_i sono variabili iid. Consideriamo la seguente relazione sulle funzioni generatrici dei momenti: * * * f (vartheta )=f (vartheta )f (theta ) n n-1 1 ricordando che f_1^*(vartheta )=f^*(vartheta ) . Questa è una equazione alle differenze finite di ordine uno e può essere risolta semplicemente. La forma generale della soluzione è: * [ * ]n f (vartheta )=A[f (vartheta )] n [ 1 ] Scriviamo la soluzione per n=1 . Otteniamo: * [ * ] f (vartheta )=A[f (vartheta )] 1 [ 1 ] da cui A=1 . Sostituendo: * [ * ]n f (vartheta )=[f (vartheta )] n [ 1 ] Applichiamo la derivata alla relazione vista: | partial * | |[ partial * ] * * [ partial * ]| |-----------------f (vartheta )| =|[-----------------f (vartheta )]f (vartheta )+f (vartheta )[-----------------f (vartheta )]| |partial vartheta n |vartheta =0 |[partial vartheta n-1 ] 1 n-1 [partial vartheta 1 ]|vartheta =0 Se e solo se: µ =µ µ · 1+1· 1,n 1,n-1 1,1 da cui si ottiene facilmente µ _1,n=nµ _1,1 . Vediamo ora se la passeggiata aleatoria semplice ammette limite. Il teorema dei grandi numeri afferma che: (X ) ( ) ( n)-µ --> 0 (--) n (n ) in probabilità, cioè {|X | } {| | } lim Pr{| n-µ |< varepsilon}=1 n-> +oo {|-- | } {|n | } { ( ) +oo { ( ) n ( )} quindi se µ è positivo, con probabilità uno X_n si fissa (al limite) fra due valori infiniti, quindi non esiste distribuzione limite (le realizzazioni che non vanno a +oo hanno probabilità zero. Simile discorso vale per µ negativo. Se µ è uguale a zero vediamo che la probabilità che X_n si trovi al limite fra +oo e -oo è uno. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .